ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ.

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.

Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.

3) Тоді площа квадрата S = 8² = 64 (см²).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.

Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС(мал. 417).

2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.

3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.

4) 3 іншого боку 

Взято з: http://geom10klas.blogspot.com/2014/07/blog-post_1618.html

Теорія:

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна її проекції, то вона перпендикулярна й самій похилій. 

 

a⊥AB	a⊥ABBC⊥BA}⇒a⊥CA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Справедлива також зворотна теорема:

Якщо пряма на площині перпендикулярна похилій, то вона перпендикулярна і проекції похилої.

a⊥AC	a⊥ACBC⊥BA}⇒a⊥BA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З вершини B до площини квадрата (\ABCD\) проведено перпендикуляр BS і похилі SA, SC і SD.
Назви всі прямокутні трикутники з вершиною S, обґрунтуй свою відповідь.

 

Малюнок:

ABCD квадрат, всі кути якого дорівнюють 900 градусів.   1. Грань ASB — прямокутний трикутник, 2. Грань BSC — прямокутний трикутник, так як BS — перпендикуляр до площини.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Грань DSC — прямокутний трикутник, за теоремою про три перпендикуляри:   CD⊥BC,так якABCD−квадрат.SB⊥BC,так якперпендикуляр}⇒CD⊥SC значить, ∢SDC=900     4. Грань ASD — прямокутний трикутник, за теоремою про три перпендикуляри:    AD⊥AB,так якABCD−квадратSB⊥AB,так якперпендикуляр}⇒AD⊥SA значить, ∢SAD=900   Взято з: http://www.yaklas.com.ua/p/geometria/10/perpendikuliarn-st-priamikh-ploshchin-15481/perpendikuliar-pokhil-kut-m-zh-priamoiu-ploshchinoiu-15484/re-73fb383a-92a4-472c-b1f3-b8a0f9e86520